The Introduction of Hilbert-Huang Transform (HHT) and Empirical Mode Decomposition (EMD)

HHT分析方法簡介，自己整理一遍比較記得住，內容大多出自wiki，加上一些圖片以利理解：）

PART A   Hilbert-Huang Transform (HHT)
    由台灣中央研究院院士黃鍔（Norden E. Huang）提出，將分析資料分解為intrinsic mode functions (IMF)，這樣的分解流程稱為Empirical Mode Decomposition (EMD)。將IMF作Hilbert Transform，正確獲得資料的瞬時頻率。

    此方法處理對象乃針對非穩態與非線性訊號。與其他數學轉換運算（如傅立葉變換）不同，希爾伯特-黃轉換算是一種應用在數據資料上的演算法，而非理論工具。

PART B   Intrinsic Mode Functions (IMF)

任何一個資料，滿足下列兩個條件即可稱作IMF

• local maxima以及local minima的數目之和必須與zero crossing的數目相等或是最多只能差1，也就是說一個極值後面必需馬上接一個零交越點。
• 在任何時間點，local maxima所定義的upper envelope與local minima所定義的lower envelope，取平均要接近為零。

因此，一個函數若屬於IMF，代表其波形局部對稱於零平均值。此類函數類似於弦波，但是這些類似於弦波的部分其週期與振幅可以不是固定。因為，可以直接使用希爾伯特轉換，求得有意義的瞬時頻率。

PART C   Empirical Mode Decomposition (EMD)

    大部分的資料並不是IMF，為了解決non-linear與non-stationary資料在分解成IMF時所遇到的困難，便發展出EMD。

EMD是為了將訊號分解成IMF的組合所開發出的演算法，藉著不斷重覆的篩選程序來逐步找出IMF。

以訊號s(t)為例，篩選程序的流程概述如下:

• 執行sifting process得到IMF (執行一輪得到一個IMF)

1. 找出s(t)中的所有局部極大值以及局部極小值
2. 利用cubic spline，分別將local maxima連成上包絡線與local minima連成下包絡線。
3. 求出上下包絡線之平均，得到均值包絡線 m_1(t)。
4. 原始信號s(t)與均值包絡線相減，得到第一個分量 h_1(t)。
   h_1(t) = s(t) - m_1(t)
5. 檢查 h_1(t)是否符合IMF的條件。如果不符合，則回到步驟1並且將h_1(t)當作原始訊號，進行第二次的篩選。亦即
   h_2(t) = h_1(t) - m_2(t)
6. 重複篩選k次直到h_k(t)符合IMF的條件，即得到第一個IMF分量c_1(t)，亦即
   ...
   h_k(t) = h_k-1(t) - m_k(t)
   c_1(t) = h_k(t)

 

• 重複執行Sifting process (Find all IMFs)
1. 原始訊號s(t)減去c_1(t)可得到剩餘量r_1(t)，表示如下式
   r_1(t) = s(t) - c_1(t)
2. 將r_1(t)當作新的資料，重新執行sifting process，得到新的剩餘量r_2(t)。如此重複n次
   r_2(t) = r_1(t) - c_2(t)
   r_3(t) = r_2(t) - c_3(t)
   ...
   r_n(t) = r_n-1(t)-c_n(t)
3. 當第n個剩餘量r_n(t)已成為monotonic function，無法再分解IMF，整個EMD的分解過程完成。

• 原始訊號s(t)可以表示成n個IMF分量與一個mean trend分量的組合，如此一來，原始資料便分解成n個IMF和一個趨勢函數，我們便可將IMF做希爾伯特轉換來進行瞬時頻率的分析。

PART D   Ensemble empirical-mode decomposition(EEMD) 

• EEMD一種noise-assisted data analysis，首先對訊號加入white noise，再對訊號EMD，並重覆做以上兩個步驟n次後得到若干組IMF，最後將各自的IMF取平均來抵銷noise造成的影響。
• 傳統的EMD對noise較為敏感，而新方法EEMD能有效地處理背景雜訊干擾問題。

PART E   Multi-dimensional Ensemble Empirical Mode Decomposition

• The difficulty of MEEMD
• Dynamic data variations 
• Memory accesses of high-dimensional data 
• limited resources to harness parallelism

• Existed methods for 2D EMD
• Radial Based Functions (RBF) with Riesz transformation 
• Delauray Triangulation (DT)
• Finite Elements Based Method (FEM)
• Thin-plate spline 

• New method based on EEMD and the minimal-scale combination strategy

PART F   Conclusion

• Time-frequency analysis method
• Different from Fourier transform and wavelet 
• Transform HHT don't have to set Basis function
• EMD在不設基底這方面有其優勢，傅立葉只有一種基底，小波轉換雖有多種基底，但還要根據資料種類選擇適合的基底。
• HHT can handle non-linear or nonstationary data
• FFT and WT cannot handle instantaneous amplitude and phase/frequency 
• ex: Frequence and wavelength may change in a cycle (intrawave)
• FFT中的時間訊息在domain轉換時“壓縮”掉了